Méthode d'Archimède - Aspect théorique

Cette approximation met en jeu la notion de suites adjacentes.

Deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont dites adjacentes si l'une d'elles est croissante, l'autre décroissante et si \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}(a_n-b_n)=0\) .

On admet alors que deux suites adjacentes sont convergentes et de même limite. Ce résultat est abordé dans l'une des perles d'exercices de la section « Dans la prochaine saison ».

Cet exercice a pour objectif de démontrer que les suites \((a_n)\)  et  \((b_n)\) définies dans cette activité sont en effet adjacentes.

On rappelle que l'on a \(b_0=4\) ,  \(a_0=2\sqrt{2}\) et, pour tout entier naturel \(n\geqslant 2\) , \(b_{n+1}=\dfrac{2a_nb_n}{a_n+b_n}\)  et \(a_{n+1}=\sqrt{a_nb_{n+1}}\) .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\geqslant 2\) , on a \(0 \leqslant a_n \leqslant b_n\) .

2. Montrer que la suite \((a_n)\) est croissante et que la suite \((b_n)\) est décroissante.

3. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) ,  \(b_{n+1}-a_{n+1} \leqslant \dfrac{b_n-a_n}{2}\) .

4. En déduire \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}(a_n-b_n)\)  et conclure.

5. Écrire une fonction approx_pi en Python qui prend en argument un entier  \(n\) et qui donne un encadrement de \(\pi\) d'amplitude \(10^{-n}\)  en utilisant la méthode d'Archimède.
Il est bien évidemment interdit de comparer les valeurs des suites \((a_n)\)  et  \((b_n)\) directement à la valeur de \(\pi\) !